ガロア体(galois field)

数学から遠ざかっているなと痛切に実感。日常生活の中で勘を取り戻す努力をしないと。

ガロア体を回路で実現するには？
http://www.cqpub.co.jp/dwm/contents/0068/dwm006800570.pdf

分かりやすい説明
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa682189.html
ｐを素数とすると
GF(ｐ）は｛０，１，２，・・・，ｐ－１｝
からなります。
掛け算は
ｘ，ｙ∈GF(ｐ）とするとｘ・ｙをｐで割った余り
逆元は
ｘ∈GF(ｐ）とするとｘ・ｙをｐで割った余りが１になるｙでありｙをｘ＾（－１）とかく
割り算は
ｘ，ｙ∈GF(ｐ）とするとｘ・ｙ＾（－１）をｐで割った余り
足し算は
ｘ，ｙ∈GF(ｐ）とするとｘ＋ｙをｐで割った余り
引き算は
ｘ，ｙ∈GF(ｐ）とするとｘ＋ｐ－ｙをｐで割った余り
｛０，１，２，・・・，ｐ－１｝に掛け算と足し算を以上のように定義すれば体になることは簡単に証明できます。

ｇ（ｘ）をＧＦ（ｐ）の元を係数とするｎ次既約多項式とすると
ＧＦ（ｐ＾ｎ）はＧＦ（ｐ）の元を係数とするｎ次未満の多項式全体で表現されます。
ＧＦ（ｐ）のときと同じようにｐの代わりにｇ（ｘ）を使って掛け算や足し算を定義すれば良いのです。
なおｇ（ｘ）を原始多項式に選べば
多項式ｘのべき乗で０以外のすべてのＧＦ（ｐ＾ｎ）の元（ｐ＾ｎ－１個しかない）を表現することができます。
以上はＧＦ（ｐ＾ｎ）の多項式表現ですが多項式の係数の並びで表現したものがＧＦ（ｐ＾ｎ）のベクトル表現です。